Tổng, hiệu, tích, thương của các số đại số lại là số đại số. Do đó chúng tạo thành một trường. Một số người ký hiệu trường này bằng A {\displaystyle \mathbb {A} } hoặc Q ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} . Có thể thấy rằng mọi nghiệm của đa thức với hệ số là các số đại số cũng là số đại số. Do đó ta nói rằng trường các số đại số là trường đóng đại số. Như vậy nó là trường đóng đại số nhỏ nhất chứa trường số hữu tỷ, và được gọi là bao đóng đại số của các số hữu tỷ.[3]

Tất cả các kết quả trên được chứng minh trong cơ sở đại số của mở rộng trường.